Diskrete Differentialgeometrie-operatoren Auf Triangulierten Mannigfaltigkeiten

In dieser Arbeit geht es darum wichtige geometrische Eigenschaften wie z.B. die Krümmung auf beliebigen triangulierten Gittern zu diskretisieren. Dazu wird ein allgemeines Vorgehen zur Diskretisierung der Operatoren vorgestellt, bei dem die Durchschnittsbildung von Voronoi Zellen und die gemischten Finite Elemente und Finite Volumen Methoden verwendet werden. Diese Methode wenden wir dann an, um den Laplace-Operator und damit dann die Krümmungen zu diskretisieren. Anschließend werden die Anwendungen der entwickelten Operatoren gezeigt und kurz erläutert wie die Operatoren für höhere Dimensionen erweitert werden können. 1 Einleitung In der Computergrafik benutzt man das sog. Meshing um eine gegebene Oberfläche durch eine Triangulierung als Dreiecks-Gitter zu approximieren. Obwohl diese Methode sehr beliebt ist und Dreiecks-Gitter sehr oft in der Computergrafik verwendet werden, gibt es keinen einheitlichen Weg einfache geometrische Operatoren wie etwa den Normalenvektor oder die Krümmung auf einer diskreten Oberfläche abzuschätzen. Die Motivation einen dieser Wege zu finden, ist die Anwendung der diskreten Operatoren auf dem Gitter. So kann man zum Beispiel die Gitterqualität überprüfen oder schlecht gescannte 3D-Objekte aufbessern. Genaueres gibt es dann im Kapitel 8. Figure 1: (a) mittlere Krümmung farbig dargestellt, (b) Hauptkrümmungsrichtungen, (c,d) Verbesserung des Gitters [7] Auf jeden Fall ist deren Berechnung nicht trivial, obwohl die Gitter stückweise lineare Flächen sind. Im Folgenden wird eine Einführung in die wichtigsten und bekannten Operatoren der Differentialgeometrie gegeben, die aber nur für stetige Flächen nutzbar sind. Daher werden in den darauf folgenden Kapiteln eine Diskretisierung der Operatoren mit verschiedenen Methoden entwickelt.